Всего: 50 1–20 | 21–40 | 41–50
Добавить в вариант
Пусть 
а) Решите уравнение 
б) Найдите множество значений отношения 
в) Определите число решений уравнения 
на отрезке 
а) Преобразуем уравнение
Значит либо 
или 
при 
отсюда 
Либо
Обозначив 
получим 
или 
получим 
или 
откуда
Первый из этих наборов включен в ответы и так — все его элементы получаются по формуле
б)Воспользуемся формулой из пункта б)
Обозначив получим
Поскольку t принимает все значения из отрезка 
нам нужно определить множество значений функции 
при 
кроме 
(поскольку при этих t имеем 
и 
не определено.
Функция 
—
причем 
а наибольшее — при 
или 
Тогда 
и 
поэтому область значений на отрезке [−1; 1] будет 
а на интервале [−1; 1] 
в) Возможны два случая.
Если 
(то есть 
других подходящих точек на этом интервале нет), то 
и уравнение выполнено при любом a. Если же 
то можно поделить обе части уравнения на 
и получить уравнение 
где 
При 
получаем 
и 
причем каждому такому t соответствует ровно одно x из данного в задаче промежутка.
Очевидно функция возрастает на 
и принимает по одному разу все значения из полуинтервала 
Итак, ответ будет таким — при 
уравнение имеет два корня, а при прочих a — один корень (напомним, что 
является корнем всегда).
Ответ:
а) 
б) 
в) одно решение при 
и 
два — при 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а)
б)
в) одно решение при и два — при
а) Решите неравенство 
б) Найдите все решения уравнения 
лежащие в отрезке
в) Решите уравнение 
а) Решение стандартно, геометрическая интерпретация — на рисунке.
Ответ: 
б) После разложения на множители получаем, что
или 
откуда 
при 
Осталось определить те решения, которые попадают в указанный отрезок, для чего удобно рассмотреть график функции 
при 
(см. рисунок).
Ответ: 
при любых a, 
при 
при 
в) Так как
то 
Это уравнение имеет очевидное решение 
осталось доказать, что других решений у него нет. Заметим, что в обеих частях этого уравнения стоят возрастающие функции, поэтому прямая ссылка на монотонность недоказательна, однако ясно (доказательство — далее), что 
«растет быстрее», чем 
Действительно,
при 
значит, функция 
возрастает на 
и более одного нуля не имеет. Если 
Ответ: 1.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при любых a, при при 1.а) Решите неравенство 
б) Найдите все решения уравнения 
лежащие в отрезке 
в) Решите уравнение 
а) Преобразуем неравенство 
т. е. 
При 
получаем неравенство 
или 
У многочлена в левой части есть корень поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
Оба множителя неотрицательны при 
поэтому подходит только 
При 
получаем неравенство 
то есть 
или 
Второй множитель всегда положителен, значит, 
Окончательно 
Ответ:
б) Преобразуем уравнение
Второй множитель дает
Если же нулю равен первый множитель, то
Функция 
на отрезке 
убывает, принимая по одному разу все значения из промежутка 
а на промежутке 
возрастает, принимая по одному разу все значения из промежутка 
Теперь можно написать ответ. При 
и при 
решений нет. При 
получим 
При 
получим 
поэтому уравнение имеет два корня, а именно 
и 
откуда 
При 
получим 
поэтому уравнение имеет один корень, а 
Осталось добавить корень 
везде, где его еще нет и можно написать окончательный ответ. При одно решение При одно решение При три решения 
и При 
два решения
(не сошлось с ответом, стоит проверить!)
Ответ: 
при любом b, 
при 
при 
в) Преобразуем уравнение 
или 
Поделив на 
получим 
откуда 
Функция в левой части уравнения возрастает, а в правой — убывает, поэтому их графики пересекутся не более одного раза. Один корень можно угадать, это
Ответ:
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при любом b, при при а) Найдите наименьшее положительное решение уравнения 
б) Найдите число решений уравнения 
в) Докажите, что уравнение 
имеет ровно два решения.
г) Найдите наибольшее по абсолютной величине значение выражения 
при 
а) Замена 
приводит к уравнению 
откуда 
Корнями последнего уравнения являются числа 2 и 
Поскольку функция 
возрастающая, а 
то отсюда и следует ответ.
Ответ: 
б) Два решения при 
одно — при 
(см. рис.).
в) Так как
то графики правой и левой частей данного уравнения выглядят так, как показано на рисунке. Строгое доказательство приведено в Дополнении.
Ответ: два корня.
г) Если 
тогда 
отсюда
Ответ: 576.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
два корня. 576.а) Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение 
б) Пусть 
(
). Докажите неравенство
в) Пусть A, B, C — величины углов некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что если
то этот треугольник — равнобедренный.
г) Пусть 
Решите уравнение 
а) Преобразовав данное уравнение к виду 
и построив график функции 
получим ответ.
Ответ: один корень, если 
два, если 
и три корня, если 
б) Исследовав функцию 
нетрудно показать, что она неотрицательна при всех x, значит, 
Осталось перемножить неравенства 
(обе части которых по предположению неотрицательны).
в) Положим для удобства 
и 
Таким образом, 
и 
откуда
Если, к примеру,
то 
г) Так как 
то функция f монотонна на каждом из отрезков 
значит, на каждом из них она имеет не более одного корня. То, что
достаточно ясно.
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
два, если и три корня, если а) Решите неравенство 
б) Верно ли, что при всех 
справедливо неравенство 
в) Изобразите на координатной плоскости множество всех точек 
таких что уравнение 
)
а) Ответ: 
б) Данное неравенство можно, к примеру, преобразовать к виду
Осталось решить неравенство
с 
и 
Ответ: Да, верно.
в) Действительно, поскольку график функции 
есть верхняя половина гиперболы, то при 
прямая 
пересекается с этим графиком тогда и только тогда, когда 
Если же 
то они пересекаются при 
Ответ: 
или 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Да, верно. или а) Решите неравенство 
б) Найдите все числа 
для которых верно неравенство 
в) Изобразите на координатной плоскости множество всех точек 
таких что уравнение 
)
Ответ: а) 
б) 
в) 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Найдите все b, при которых система неравенств
имеет единственное решение.
а) Область определения неравенства — луч 
Поскольку 
то
значит,
Решением первой системы неравенств является отрезок 
решение второй — отрезок 
— не лежит в области определения исходного неравенства.
Ответ: 
б) Выражение 
при помощи преобразования произведения косинусов в сумму и наоборот может быть приведено к виду 
откуда 
или 
Ответ: 
в) Первое из неравенств системы задает множество точек, лежащих не ниже параболы 
второе — множество точек, лежащих, не левее симметричной ей относительно прямой 
параболы 
Ясно, что эти множества имеют единственную общую точку тогда и только тогда, когда первая парабола касается прямой 
поскольку тогда вторая парабола также касается этой прямой, причем в той же самой точке. Парабола 
касается прямой если квадратное уравнение 
имеет единственное решение. Приравняв нулю дискриминант этого уравнения, получим ответ.
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Найдите все b, при которых система неравенств
имеет единственное решение.
а) Преобразуем исходное выражение при условии 
(иначе оно не определено) и рационализируем его
Вернемся к неравенству
Множитель 
положителен при и на знак не влияет. Корнями остальных множителей будут 
и 
причем
а 
и 
меньше двойки и нас не интересуют. С помощью метода интервалов получим ответ на 
Ответ: 
б) Домножим уравнение на 
отметив сразу, что точки 
не являются корнями исходного уравнения, поскольку для них 
и 
но 
Решим
Осталось выкинуть точки вида поскольку они появились в ответе от умножения на 
Они получаются, если k делится на 3 но не на 6. Окончательно 
и 
Ответ: 
в) Найдите все b, при которых система неравенств 
имеет единственное решение.
Очевидно, что если пара чисел 
подходит в систему, то и пара чисел 
подходит в систему, поэтому единственным решение может быть только если 
Далее, из пар вида 
должна подходить ровно одна (больше одной нельзя по условию, а если не подходит ни одна, то единственного решения не будет), то есть 
Перепишем его в виде 
Тогда трехчлен 
должен иметь единственный корень (если корней два, то на роль x подойдет любое число между корнями, а если корней нет вовсе, то у неравенства не будет решений). Тогда его дискриминант 
откуда Осталось убедиться, что система неравенств
имеет только решение 
Сложив неравенства, получим 
Ответ:
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Нарисуйте график функции 
б) Решите уравнение 
в) Решите неравенство 
г) Для того, чтобы обеспечить себя в старости, Джон открыл счет в банке и решил ежегодно вносить на 
а) См. рисунок
б) Возводя уравнение в квадрат, получим
Теперь нужно выбрать из этих ответов только те, для которых 
Например для 
нужно выбирать только четные k, 
аналогично и для 
нужно выбирать четные k.
в) Перепишем неравенство в виде 
Построим сначала график функции 
отразим его относительно вертикальной оси (получим график 
), сдвинем вправо на 
(получим график 
) и вниз на 
Теперь рассмотрим прямые, проходящие через начало координат и выясним, при каких x точка на прямой лежит выше соответствующей точки на графике или совпадает с ней. Пусть для начала a сильно отрицательное число. Тогда, очевидно, ответом будет 
Будем теперь увеличивать a. Ситуация будет меняться следующим образом. При некотором 
прямая пройдет через точку 
и к ответу добавится 
Затем прямая будет пересекать обе ветви графика и появится еще небольшой отрезок между точками пересечения. Затем при некотором 
прямая коснется левой ветви графика и ответом будут все x до точки пересечения с правой ветвью. Затем появится вторая точка пересечения с левой ветвью а ответом будут все x левее этой точки и все от 0 до точки пересечения с правой ветвью.
Это будет продолжаться, пока a не станет нулем и первый промежуток не пропадет. Затем a станет положительно. 
подходить уже не будут, зато появится вторая точка пересечения с правой ветвью и к ответу добавятся все точки правее этой точки пересечения.
Это будет продолжаться, пока прямая не станет касательной к правой ветви при некотором 
С этого момента будут подходить все Осталось найти все эти точки пересечения и определить конкретные значения 
Решим уравнение 
для поиска точек пересечения с левой ветвью, получим
Иногда этот корень будет посторонним, но нам это неважно, поскольку мы уже определили по рисунку ситуации, когда он будет на самом деле.
Решим уравнение 
для поиска точек пересечения с правой ветвью, тогда
Из этих двух корней иногда нужен только один — тогда это меньший корень, 
Второй соответствует пересечению с нижней ветвью параболы 
которая не относится к графику (на рисунке показана пунктиром) можно найти из уравнения 
откуда 
и равно угловому коэффициенту касательной к линии 
в точке то есть производной от данной функции в точке 
Решим
что при дает 
Наконец 
должно быть таким положительным числом, при котором склеиваются точки пересечения прямой с правой ветвью графика, откуда
Поскольку 
следует выбрать 
Теперь можно написать ответ.
При 
При 
При 
При 
При 
При 
При 
При 
г) На первые его 2 000 банк начислит проценты 26 раз, на вторые −25 и так далее, поэтому общий размер его вклада составит
Если вычесть из этой суммы 20000 долларов и потом начислить на остаток 
то вклад составит
и нужно сравнить это число с предыдущим остатком по вкладу. Докажем, что оно больше, тогда он сможет жить на проценты с вклада. Сравним
Заметим, что
поэтому
Знание 
не пригодилось. Чтобы его нормально использовать, нужно, кажется, тратить по 18 тысяч. Тогда надо будет доказывать, что 
что верно поскольку 
Ответ:
б) 
в) 
при 
при 
при 
при 
при 
при 
где 
г) да, достаточно.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б)
в) при при при при при при где
г) да, достаточно.
а) Решите неравенство 
б) Найдите все a, при которых уравнение 
не имеет решений на отрезке 
в) Найдите наименьшее расстояние между диагональю прямоугольного параллелепипеда с ребрами
г) Найдите наибольшую площадь четырехугольника, длины последовательных сторон которого равны
а) Вместо того, чтобы решать иррациональное неравенство путем двукратного возведения в квадрат, можно поступить следующим образом. Пусть 
Поскольку на луче 
функции 
и 
— убывающие, то и функция f убывает на нем. Аналогично, f возрастает на луче 
Далее, 
а 
Таким образом, 
только при 
Ответ: 
б) Имеем:
тогда и только тогда, когда 
или 
т. е. когда число а является значением на отрезке 
(при некотором 
) одной из функций 
или 
Графики этих функций изображены на рисунке, откуда и следует ответ.
Ответ: 
в) Подчеркнем прежде всего, что основную часть решения данной задачи составляет геометрическое рассуждение. Именно, требуется доказать, что искомым расстоянием между диагональю BD грани ABCD и диагональю AC1 параллелепипеда является длина перпендикуляра, опущенного на AC1 из точки K — центра ABCD (см. рисунок). Для этого достаточно доказать, что прямая KP, которая по построению перпендикулярна AC1 также перпендикулярна и BD. Действительно, так как диагонали AC и BD и прямые CC1 и BD перпендикулярны между собой, то прямая BD перпендикулярна плоскости (ACC1), значит, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности, и прямой KP. Само вычисление чрезвычайно просто:
Заметим, наконец, что если длины ребер параллелепипеда различны, то общий перпендикуляр к BD и AC1 уже не будет пересекать BD в его середине. В этом случае проще всего использовать методы аналитической геометрии, чтобы получить следующую общую формулу
Ответ: 
г) 
— площадь трапеции. Пусть d — диагональ четырехугольника. Тогда 
так что
Прямое дифференцирование показывает, что эта функция достигает своего наибольшего значение при 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите неравенство 
б) Найдите все a, при которых уравнение 
имеет решения на отрезке 
в) Найдите наименьшее расстояние между диагональю прямоугольного параллелепипеда с ребрами 4, 2, 4 см и не пересекающей ее диагональю его квадратной грани.
г) Найдите наибольшую площадь четырехугольника, длины последовательных сторон которого равны 2, 3, 4, 3 см.
а) Для начала найдем ОДЗ неравенства
Значит ОДЗ неравенства это 
При 
получаем
поэтому неравенство верно. При 
функция
возрастает и при этом 
Значит, подходят все и не подходят 
Ответ: 
б) Ясно, что нужно просто найти наименьший положительный корень этого уравнения и взять a не меньшие этого корня. Решая уравнение, получим 
где 
решим
Отсюда сразу видно, что первые корни определены только при 
а вторые — только при 
Кроме того, оба корня с минусом перед радикалом сразу отрицательны и их можно не учитывать, поскольку 
получим 
или 
Далее, ясно, что при меньших k получатся меньшие значения этих выражений, поэтому достаточно взять наименьшие k и сравнить результаты между собой. Сравним
или 
или 
Поскольку
наименьший корень равен 
Ответ: 
в) Пусть этот параллелепипед это ABCDA1B1C1D1, причем AB = AD = 4, AA1 = 2. Будем искать расстояние между AC1 и BD.
Заметим сразу, что прямые AC1 и BD перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах (проекция AC1 на ABCD это AC, а диагонали квадрата перпендикулярны). Пусть O — середина BD. Опустим перпендикуляр из O на AC1. Это и будет искомое расстояние между прямыми. В самом деле, этот отрезок будет перпендикулярен AC1 по построению, а его проекция будет лежать на диагонали AC (поскольку он лежит в плоскости ACC1A1), поэтому проекция (а значит и он сам) будет перпендикулярна BD.
Итак, можно вычислять ответ
Ответ: 
г) Рассмотрим четырехугольник ABCD, 
Пусть, далее, 
По неравенству треугольника получим 
и 
и 
откуда 
Ясно, что любое такое x подходит — оба треугольника ABC и ADC удается построить и склеить по стороне AC. Применим тогда к каждому из них формулу Герона, получим
Обозначим теперь 
(поскольку функция 
монотонна при 
). Тогда нам нужно будет найти наибольшее значение функции 
при 
Возьмем ее производную
Поэтому знак производной совпадает со знаком выражения 
которое очевидно убывает. Значит, нужно найти его корень 
и тогда на промежутке 
производная будет положительна (а функция возрастать), а на промежутке 
производная будет отрицательна (а функция убывать), поэтому наибольшее значение функции будет при 
Решим уравнение
Значит нужно выбрать 
и x — корень уравнения 
и получить площадь
На самом деле четырехугольник наибольшей площади с данными сторонами — вписанный. В нашем случае на его, роль, очевидно, подойдет равнобедренная трапеция.
Ответ: 
— площадь трапеции.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
— площадь трапеции.а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Внутри угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 от нее расположена точка M. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны этого угла.
г) Сколько сторон имеет сечение куба 
плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
а) После стандартных преобразований получим неравенство
Ответ: 
б) При 
получаем уравнение 
т. е. 
При имеем 
т. е. 
Вообще, 
есть решение только при 
Поэтому в дальнейшем будем считать, что 
После 
откуда 
Случай уже исследован, так что 
Из условий 
получаем, что 
Таким образом, 
при 
Ответ: 
при 
при 
при 
при
в) Имеем: 
так что 
Ответ: 
г) Если расположить начало системы координат в вершине C куба, а ее оси направить по его ребрам, то из условий на точки K, L, M следует, что их координаты равны 
Для определения коэффициентов уравнения 
плоскости 
получаем систему
откуда 
и 
Найдем координаты точки P пересечения прямой 
и плоскости KLM: 
так 
Ответ: Пять сторон.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при при при при Пять сторон.а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) На сторонах угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 друг от друга лежат точки K и L. Пусть M — точка пересечения восстановленных в точках K и L перпендикуляров к соответствующим сторонам угла. Найдите расстояние от M до A.
г) Сколько сторон имеет сечение куба плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
а) Решите неравенство
Ясно что и 
не подходят в неравенство. При прочих x можно домножить неравенство на 
и получить
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
У второго множителя левой части есть корень поэтому он раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
Дискриминант последнего множителя равен 
поэтому он всегда положителен. Сократив его, получим 
откуда 
или 
Окончательно, учитывая условия 
и 
получаем 
Ответ: 
б) Решите уравнение
Обозначим 
Тогда 
и уравнение примет вид
Если 
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, получим
При подходит любое 
При прочих a можно сократить на 
получим
заметим корень с другим знаком все равно не подходит. Очевидно 
поэтому такой корень подходит.
Если 
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, отсюда
Можно сократить на 
тогда 
При 
это невозможно (правая часть неположительная, а левая положительна). При 
получим
заметим корень с другим знаком все равно не подходит. Очевидно 
при условии 
то есть 
Итак, такой корень подходит при 
при прочих отрицательных a нет корней.
Наконец при уравнение сводится к 
то есть
Теперь можно записать ответ, дорешав уравнения 
в случаях 
Во всех случаях 
при нет корней; при 
и 
при 
при нет корней; при 
при 
и 
при 
Ответ: 
при 
при 
при 
при 
в) На сторонах угла величиной с вершиной в точке A на расстоянии 4 друг от друга лежат точки K и L. Пусть M — точка пересечения восстановленных в точках K и L перпендикуляров к соответствующим сторонам угла. Найдите расстояние от M до A.
Обозначим 
тогда
Тогда по теореме синусов для треугольника KAL получаем 
откуда 
Аналогично по теореме синусов для треугольника MKL получаем 
Тогда по теореме Пифагора получаем
Ответ: 
г) Сколько сторон имеет сечение куба плоскостью, проходящей через точки и которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях и (считая от вершины, указанной первой)?
Обозначим ребро куба за 
тогда 
и 
Отметим кроме того точку 
для которой 
Тогда 
и 
- параллелограмм (его стороны 
и AK равны и параллельны), поэтому 
и 
Далее, 
и 
поэтому 
—
и 
Из этого получаем, что 
и 
поэтому точки K, L, M, D лежат в одной плоскости (и образуют там вершины параллелограмма). Этот параллелограмм и будет сечением куба, поэтому сечение имеет 4 стороны.
(не сошлось с ответом!)
Ответ: Пять сторон.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при при при при Пять сторон.Найти при каких a уравнение
не имеет решений?
Введём замену при 
тогда уравнение примет вид:
Воспользуемся разложением дроби вида 
в виде суммы простейших дробей:
тогда получим:
Сокращаем дроби с учетом допустимых значений: 
где 
тогда 
При a = 0 уравнение не имеет решений, рассмотрим 
тогда:
Оценим правую часть уравнения:
Следовательно, при 
уравнение не имеет решений.
Ответ: 
| Условия выставления | Баллы |
|---|---|
| Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи | 12 |
| При верном и обоснованном ходе решения получен ответ, отличающийся от правильного включением/исключением граничных точек | 8 |
| Верно решение задачи, выполнено разложение дробей в сумму простейших, дальнейшее решение неверно или отсутствует | 4 |
| Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям | 0 |
Найти при каких a уравнение
не имеет решений?
Введём замену при тогда уравнение примет вид:
Воспользуемся разложением дроби вида 
в виде суммы простейших дробей:
тогда получим:
Сокращаем дроби с учетом допустимых значений:
где 
тогда 
При a = 0 уравнение не имеет решений, рассмотрим тогда:
Оценим правую часть уравнения:
Следовательно, при 
уравнение не имеет решений.
Ответ:
| Условия выставления | Баллы |
|---|---|
| Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи | 12 |
| При верном и обоснованном ходе решения получен ответ, отличающийся от правильного включением/исключением граничных точек | 8 |
| Верно решение задачи, выполнено разложение дробей в сумму простейших, дальнейшее решение неверно или отсутствует | 4 |
| Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям | 0 |
Найти все значения параметра b, при которых неравенство
выполняется при любых значении x.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и получим:
сделаем замену 
тогда неравенство 
должно выполняться при всех значениях 
Значит,
Неравенство верно, если:
Ответ: 
Найдите все значения параметров a и b, при которых уравнение
имеет единственное решение если 
при 
и 
при 
Укажите это решение при каждом из найденных значение a и b.
Преобразуем исходное выражение:
Сделаем замену 
Получим уравнение
Пусть при некотором значении параметра a это уравнение имеет единственное решение y0. Приходим к уравнению 
Если 
то функция
на каждом промежутке
принимает все значения из интервала 
(на каждом из указанных промежутков функция 
принимает все значения, принадлежащие 
а функция 
ограничена). Таким образом, уравнение 
при 
будет иметь бесконечно решений, что не удовлетворяет условию задачи. При 
имеем 
решение единственное.
Итак, 
и необходимо выяснить, при каких a уравнение
имеет единственное решение.
1) Если 
то 
то есть 
Следовательно, при 
уравнение имеет один отрицательный корень 
2) Если 
то 
Сделаем замену 
приходим к уравнению
Находим:
а) при 
получаем 
т. е. 
— единственное решение.
б) при имеем квадратное уравнение, которое будет иметь два различных неотрицательных решения при следующих условиях
3) Уравнение (*) будет иметь одно неотрицательное решение,
3.1) если 
тогда 
Имеем 
и 
3.2) если
3.3) если
таких a нет.
Итак, при 
уравнение (*) имеет ровно один неотрицательный корень
и
При
уравнение (*) имеет ровно один неотрицательный корень
и
Совместим рассмотренные случаи:
Ответ:
— при 
— при 
— при 
— при 
— при
— при
— при
— при
Найдите все значения параметров a и b, при которых уравнение
имеет единственное решение если 
при 
и 
при 
Укажите это решение при каждом из найденных значение a и b.
Преобразуем исходное выражение:
Сделаем замену 
Получим уравнение
Пусть при некотором значении параметра a это уравнение имеет единственное решение y0. Приходим к уравнению 
Если то функция
на каждом промежутке 
принимает все значения из интервала (на каждом из указанных промежутков функция 
принимает все значения, принадлежащие а функция ограничена). Таким образом, уравнение 
при будет иметь бесконечно много решений, что не удовлетворяет условию задачи. При имеем решение единственное.
Итак, и необходимо выяснить, при каких a уравнение
имеет единственное решение.
1) Если то 
Следовательно, при 
уравнение имеет один отрицательный корень 
2) Если 
Сделаем замену приходим к уравнению
а) при 
— единственное решение;
б) при имеем квадратное уравнение, которое будет иметь два различных неотрицательных решения при следующих условиях
Уравнение (*) будет иметь одно неотрицательное решение,
3.1) если 
тогда 
Имеем 
и 
3.2) если
3.3) если
таких a нет.
Итак, при уравнение (*) имеет ровно один неотрицательный корень
и
При 
уравнение (*) имеет ровно один неотрицательный корень
и
Совместим рассмотренные случаи:
Ответ:
— при 
— при 
— при 
— при 
— при
— при
— при
— при
Найдите все значения параметра b, при котором для любого значения параметра 
неравенство
Сделаем замену 
Получаем
или
Выясним, при каких значениях a и b неравенство
выполняется для любого 
Рассмотрим функцию
Ее графиком является парабола с ветвями, направленными вверх, вершиной в точке с абсциссой 
Составим системы:
Построим графики в соответствие номеру системы:
На координатной плоскости Оab изобразим множество точек 
удовлетворяющих условиям 1−3. Точки, не удовлетворяющие условиям 1−3, это точки, для которых неравенство
не выполняется хотя бы для одного Точки пересечения гиперболы 
и прямой 
находим, решая уравнение 
Получаем точки
Окружность 
пересекается с прямой по тем же точкам (можно проверить подстановкой). Аналогичные рассуждения проводим для второй окружности и прямой. В итоге, точки, для которых неравенство
не выполняется хотя бы для одного 
образуют замкнутую область, граница которой состоит из графиков двух окружностей и гиперболы, граница включается. Для решения задачи необходимо найти такие значения b, при которых точки 
попадают в получившуюся область для любых 
Такие значения b образуют отрезок 
Нижнюю границу b1 находим, подставляя в уравнение гиперболы 
Имеем 
Верхнюю границу b2 находим, подставляя в уравнение окружности 
значение 
Имеем 
Ответ: 
Наверх